Mountain Pass：能量地形里的山口

这条档案处理稳态解：时间导数关闭以后，方程变成一个变分问题，解对应能量地形中的临界点。

稳态方程

\begin{cases} -\Delta u=|x|^{-s_2}|u|^{p-2}u, & x\in\Omega,\\ u=0, & x\in\partial\Omega. \end{cases}

它看起来比演化方程短很多，但难点没有消失，只是转移到了能量泛函的几何和紧性上。

J(u)=\frac{1}{2}\|\nabla u\|_2^2-\frac{1}{p}\int_{\Omega}|x|^{-s_2}|u|^p\,{\rm d}x.

对应的 Nehari 泛函是：

I(u)=\|\nabla u\|_2^2-\int_{\Omega}|x|^{-s_2}|u|^p\,{\rm d}x.

当 (I(u)=0) 时，梯度能量和源项能量达到一种平衡。这个平衡面就是后面寻找非平凡解的重要约束。

取一个非零方向 (\varphi)，沿着 (t\varphi) 看能量：

J(t\varphi)=\frac A2t^2-\frac Bp t^p.

当 (t) 很小时，二次项占主导，能量向上；当 (t) 足够大时，非线性项占主导，能量向下。于是能量地形出现“先上坡、再下坡”的山口结构。

\Gamma=\{\gamma\in C([0,1],H_0^1(\Omega)):\gamma(0)=0,\ \gamma(1)=e\}.

c=\inf_{\gamma\in\Gamma}\max_{t\in[0,1]}J(\gamma(t)).

这表示所有从零点出发、走到低能量区域的路径里，选择最高点尽量低的那一条。那个不可避免的最高点，就是山口水平。

\mathcal N = \left\{ u\in H_0^1(\Omega)\setminus\{0\}: \langle J'(u),u\rangle=0 \right\}.

Nehari 流形提供另一种看法：不在整个空间里乱找，而是在自然约束上寻找能量极小点。它和 Mountain Pass 的山路图像相互对应。