从 ODE 到双奇异权：一条信号升级路线

这条档案用一条简化路线理解 PDE：先从常微分方程的能量图像出发，再逐步加入空间、边界和奇异权。

从有限维开始

有限维系统的好处是直观：变量少，能量变化可以直接画出来。很多 PDE 证明中的能量方法，本质上也是在追踪某个“控制量”是否保持稳定。

加入空间变量

一旦进入 PDE，梯度项、边界条件和函数空间都会出现。此时我们不再追踪单个数，而是追踪函数的范数，例如：

$$|\nabla u(t)|_2^2.$$

加入奇异权

再加入 (|x|^{-s}) 之后，原点附近的信号会被放大。证明路线需要额外处理加权可积性和截断极限。

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双奇异权方程：研究对象