NORTH STAR / 长期目标
学到什么程度才算真正掌握？
在限时条件下提出关键引理并写出无跳步证明，赛后能把失败归因到知识、洞察或表达。
题型、证明与周期训练OLY-M / CREATIVE PROOF
数学奥赛Mathematical Olympiad
按代数、数论、组合、几何四大题型构建证明能力，以周周期和赛季周期管理训练；重视独立思考、精写证明和间隔复做，而非追求题量。
PREREQUISITES / 先修检查
进入路线前
- 扎实的中学代数与欧氏几何
- 会使用反证法和数学归纳法
- 能耐心独立思考 60–90 分钟
- 了解目标赛事的年龄和参赛规则
FOUNDATIONS / 地基
第一轮优先补齐
- 等式/不等式变形
- 整除、同余和质因数
- 计数、鸽巢与不变量
- 相似、圆、共线共点与变换
STAGED ROUTE / 阶段路线
用可验证产出推进，而不是只计算观看时长
阶段可并行回看；勾选只表示完成过该阶段的产出与自检，不代表永久掌握。
O112 周 基础题型周期
四大模块各建立 20 个母题与方法卡。
- 每周 3 天专题训练
- 每题保留首次思路时间线
- 周末精写两份完整证明
O212–16 周 混合提升周期
能识别题目跨模块的连接。
- 每周一次 4.5 小时模拟
- 错题按关键缺口分类
- 两周后闭卷复做
O38 周 赛季强化周期
稳定选题、时间分配和书写。
- 使用官方历年题模拟
- 训练 30 分钟止损与换题
- 按评分标准自评证明
O42 周 赛前收敛
保持手感和状态，不突击陌生高难专题。
- 复习方法索引和高频错误
- 减少题量并保证睡眠
- 确认文具、规则和时间安排
KNOWLEDGE MAP / 知识地图
概念、方法、练习和回忆锚点在同一张卡里
输入关键词或选择分类；按 / 可快速聚焦搜索，Esc 清空。
5 个知识节点
01题型
代数与不等式
从结构化变形、函数性质和等号条件寻找可证明的界。
不等式函数方程多项式数列代数
CORE / 核心概念
- AM-GM、Cauchy、Jensen 的条件
- 多项式根与因式结构
- 递推、函数方程和等号情形
METHOD / 常用方法
- 先找齐次性和对称性
- 规范化后研究极端配置
- 每次使用不等式都追等号条件
PRACTICE / 练习
- 同题用两种不等式证明
- 构造缺条件的反例
- 整理函数方程代入路线
02题型
初等数论
整除、同余和估值把整数的离散限制转化为局部信息。
同余整除丢番图质数估值
CORE / 核心概念
- Euclid 算法、Bézout 与线性同余
- 费马/欧拉定理和阶
- p-adic 估值、丢番图方程与无限递降
METHOD / 常用方法
- 先取小模数筛不可能
- 分解质因数并逐个看估值
- 在互素条件下使用乘法结构
PRACTICE / 练习
- 解线性丢番图方程族
- 为平方剩余建立小模数表
- 用无限递降证明无解
03题型
组合与图论
通过双计数、鸽巢、不变量和极值选择处理离散配置。
组合鸽巢不变量极值图论
CORE / 核心概念
- 容斥、双计数和递推
- 不变量/单调量与操作过程
- 极值原理、图的度数和染色
METHOD / 常用方法
- 给同一集合设计两种计数
- 模拟小例寻找不变量
- 选最小/最大对象逼出局部结构
PRACTICE / 练习
- 写一个双计数恒等式证明
- 为棋盘操作找染色不变量
- 把关系问题翻译成图
04题型
欧氏几何
用角、比、幂和变换在图形中建立可追踪的不变量。
几何圆相似反演射影
CORE / 核心概念
- 相似、圆幂、根轴和共圆
- 面积比、正弦定理与坐标/向量
- 反射、旋转、位似、反演入口
METHOD / 常用方法
- 先做无比例准确图并标已知
- 追角时统一有向角
- 综合卡住再尝试坐标或变换
PRACTICE / 练习
- 一题分别用综合与坐标法
- 建立常见辅助线触发条件
- 检查退化与点序问题
05训练
精写、复盘与周期管理
奥赛能力来自长时间独立探索、可评分表达和有间隔的再提取。
证明复盘模拟赛错题周期
CORE / 核心概念
- 关键引理、主线和局部计算分层
- 知识/洞察/计算/表达四类错因
- 首做、补做、复做三个不同指标
METHOD / 常用方法
- 卡住时记录已证与待证
- 对照官方解答只提取关键转折
- 隔 7/30 天闭卷复做
PRACTICE / 练习
- 给自己的证明按评分点打分
- 把一页冗长解答压成 5 行骨架
- 维护月度错因 Pareto 图
没有匹配的知识节点
换一个更短的关键词，或清空分类后再试。
OUTPUT LAB / 练习与项目
用可交付作品检验理解
项目不是装饰：交付物、检查点与复盘记录缺一不可。
四模块母题册
每模块 20 题，记录触发信号、关键引理和变式。
完成检查
- 至少三分之一完成间隔复做
- 不只粘贴标准解答
- 方法标签可交叉检索
12 场官方题模拟
计时、选题、完整答卷和评分复盘档案。
完成检查
- 严格遵守目标赛制
- 证明按公开评分标准检查
- 每场生成下周训练项
定理与反例图谱
连接 80 个常用定理、条件、等号和反例。
完成检查
- 每条边说明使用条件
- 至少包含一个误用反例
- 能从题型入口快速检索
REFERENCE SOURCES / 可核验资料
先读官方、大学与专业组织资料，再用高质量参考补齐
外部页面可能更新；课程顺序以本页路线为导航，资料以来源明确、可核验为优先。