NORTH STAR / 长期目标
学到什么程度才算真正掌握？
既能说明物理模型需要哪种数学结构，也能解释抽象结构对应什么可观测量、对称性或演化。
数学结构 × 物理模型MP-01 / STRUCTURE BRIDGE
数学物理Mathematical Physics
建立纯数学与理论物理之间的双向桥梁：从微分方程、变分法、群表示和几何走向谱理论、广义相对论、量子场论与可积系统。
PREREQUISITES / 先修检查
进入路线前
- 实分析与线性代数
- 常/偏微分方程基础
- 经典力学、电磁学和量子力学
- 愿意同时检查严谨性与物理尺度
FOUNDATIONS / 地基
第一轮优先补齐
- 泛函分析与算子
- 微分几何和李群李代数
- 变分法、分布与 PDE
- 概率、统计与渐近方法
STAGED ROUTE / 阶段路线
用可验证产出推进，而不是只计算观看时长
阶段可并行回看；勾选只表示完成过该阶段的产出与自检，不代表永久掌握。
B14–6 个月 共同语言
掌握算子、分布、Green 函数和变分法。
- 复习 Hilbert 空间与谱
- 求典型 PDE 的 Green 函数
- 从作用量推 Euler–Lagrange 方程
B24–6 个月 对称与几何
用群、表示、流形和纤维丛描述物理对称。
- 计算 SO(3)/SU(2) 基础表示
- 学习联络、曲率与规范场
- 把守恒量与群作用对应
B36–9 个月 谱、概率与场
进入量子、统计场和随机过程的数学结构。
- 研究自伴算子的谱
- 学习路径积分的形式与限制
- 比较严格概率测度和物理形式主义
B4长期 专题研究
选择 GR/QFT/可积系统/数学统计物理专题。
- 读一本专著和一篇综述
- 复现核心计算或定理
- 明确物理启发与数学定理的边界
KNOWLEDGE MAP / 知识地图
概念、方法、练习和回忆锚点在同一张卡里
输入关键词或选择分类；按 / 可快速聚焦搜索，Esc 清空。
5 个知识节点
01分析
PDE、分布与变分法
连续介质和场的运动通常表现为 PDE，弱解与变分形式扩展了经典解。
PDE分布弱解变分法Green函数
CORE / 核心概念
- 椭圆/抛物/双曲型方程
- 分布、Sobolev 空间与弱导数
- 作用量、Euler–Lagrange 与边界项
METHOD / 常用方法
- 先识别方程类型与边界条件
- 用能量估计控制解
- 通过对偶和测试函数理解弱形式
PRACTICE / 练习
- 求 Poisson 方程 Green 函数
- 推导波动方程能量守恒
- 写有限元弱形式草图
02分析
泛函分析与谱理论
无限维线性代数为量子力学、波和稳定性提供严格语言。
Hilbert空间算子谱自伴半群
CORE / 核心概念
- Banach/Hilbert 空间与对偶
- 无界算子、定义域和自伴性
- 谱分解、紧算子与演化半群
METHOD / 常用方法
- 每次写清空间、范数和定义域
- 区分点谱、连续谱与剩余谱
- 用有限维截断建立直觉但不代替证明
PRACTICE / 练习
- 证明正交投影最优性
- 研究 Sturm–Liouville 谱
- 数值逼近势阱算子低能谱
03几何
李群、表示与规范几何
连续对称由李群描述，表示把抽象对称作用到物理状态，联络描述局域比较。
李群李代数表示论规范场纤维丛
CORE / 核心概念
- Lie bracket、指数映射和生成元
- 群表示、不可约分解与选择定则
- 主丛、联络、曲率和规范变换
METHOD / 常用方法
- 从无穷小生成元还原有限变换
- 用 Casimir 算子标记表示
- 区分坐标变换与规范冗余
PRACTICE / 练习
- 计算 SO(3) 李代数
- 构造 SU(2) 自旋表示
- 从联络算曲率二形式
04几何
微分几何与相对论
度量、联络和曲率把引力解释为时空几何。
流形张量曲率广义相对论测地线
CORE / 核心概念
- 切丛、张量场与微分形式
- Levi-Civita 联络和测地线
- Riemann 曲率、Einstein 方程与因果结构
METHOD / 常用方法
- 使用坐标无关对象组织推导
- 再在对称坐标系计算分量
- 检查签名、单位、指标升降约定
PRACTICE / 练习
- 推球面测地线方程
- 计算简单二维曲面曲率
- 研究 Schwarzschild 时空径向运动
05前沿
QFT、统计物理与可积系统
场、尺度和集体行为在重整化、拓扑和可积结构中相遇。
量子场论重整化统计场论可积系统拓扑场论
CORE / 核心概念
- 经典/量子场、对称与守恒流
- 重整化群、有效理论与普适性
- 可积性、散射、拓扑量与反常入口
METHOD / 常用方法
- 始终声明正规化与能标
- 区分形式计算、物理推理和严格定理
- 从低维或自由理论建立可控例子
PRACTICE / 练习
- 计算自由标量场两点函数
- 用尺度分析研究临界指数
- 比较一个经典可积模型的守恒量
没有匹配的知识节点
换一个更短的关键词，或清空分类后再试。
OUTPUT LAB / 练习与项目
用可交付作品检验理解
项目不是装饰：交付物、检查点与复盘记录缺一不可。
双语概念桥
为 40 个概念分别写数学定义、物理意义和最小例子。
完成检查
- 不把直觉冒充定义
- 指出适用条件和常见混淆
- 两侧各有权威来源
一个模型三种语言
用 PDE、变分与谱方法研究同一波动/量子模型。
完成检查
- 边界条件一致
- 解析与数值结果对照
- 说明三种方法各自优势
专题研读报告
围绕 GR/QFT/统计场论完成含推导的综述。
完成检查
- 区分严格结果与物理形式
- 复现一个关键计算
- 维护符号和约定表
REFERENCE SOURCES / 可核验资料
先读官方、大学与专业组织资料，再用高质量参考补齐
外部页面可能更新；课程顺序以本页路线为导航，资料以来源明确、可核验为优先。