NORTH STAR / 长期目标
学到什么程度才算真正掌握？
能读写严谨证明，识别对象、态射、不变量与反例，并独立完成一条方向的研究型阅读。
从证明到结构MATH-01 / PROOF SPACE
纯数学Pure Mathematics
以证明语言为入口，沿分析、代数、几何拓扑、数论与概率建立结构化地图；既保留本科主干，也标出进入研究方向的桥梁。
PREREQUISITES / 先修检查
进入路线前
- 高中代数、几何与微积分直觉
- 集合、函数和逻辑量词
- 愿意逐行检查证明
- 可使用 LaTeX 整理数学笔记
FOUNDATIONS / 地基
第一轮优先补齐
- 命题逻辑、集合与映射
- 直接证明、反证、归纳与构造
- 线性代数和单变量微积分
- 例子—猜想—证明—反例循环
STAGED ROUTE / 阶段路线
用可验证产出推进，而不是只计算观看时长
阶段可并行回看；勾选只表示完成过该阶段的产出与自检，不代表永久掌握。
M16–8 周 证明与语言
能准确否定命题并写完整证明。
- 练量词、集合、关系与可数性
- 每周精写 3 个证明并自查
- 为假命题构造最小反例
M29–15 个月 本科核心
完成分析、代数、拓扑的第一轮。
- 实分析与抽象代数并行
- 穿插点集拓扑和概率
- 每章整理定义依赖图
M36–12 个月 方向桥梁
选择两个方向修读研究生入门材料。
- 参加公开 seminar 或课程
- 复现教材中的关键定理
- 写一篇 10 页主题综述
M4长期 研究型阅读
能读论文、追踪引用并提出可验证小问题。
- 建立术语与引理索引
- 先读综述再读原始论文
- 每月做一次黑板报告
KNOWLEDGE MAP / 知识地图
概念、方法、练习和回忆锚点在同一张卡里
输入关键词或选择分类；按 / 可快速聚焦搜索，Esc 清空。
5 个知识节点
01语言
逻辑、集合与证明
定义规定对象，量词规定范围，证明把局部理由连成不可跳步的链。
逻辑集合论证明量词反例
CORE / 核心概念
- 充分/必要条件与量词次序
- 集合、关系、等价类与基数
- 构造、反证、归纳与极值原理
METHOD / 常用方法
- 先展开定义再使用直觉
- 精确写出命题的否定
- 用边界例和极端例攻击猜想
PRACTICE / 练习
- 证明有理数可数
- 否定一致连续定义
- 为错误交换量词命题找反例
02分析
实分析与泛函分析
分析研究极限及其可控性，从数列、函数走向度量空间和算子。
极限连续测度泛函分析微分方程
CORE / 核心概念
- 完备性、紧致性与一致收敛
- 测度、积分和几乎处处性质
- Banach/Hilbert 空间与有界算子
METHOD / 常用方法
- 用 ε–δ 显式管理误差
- 区分逐点、一致、Lᵖ 收敛
- 用反例检查交换极限/积分/微分
PRACTICE / 练习
- 证明 Heine–Borel 定理的一条路径
- 构造逐点非一致收敛序列
- 验证投影算子的范数性质
03代数
抽象代数与表示
代数通过运算、对称和保持结构的映射统一不同对象。
群环域模表示论
CORE / 核心概念
- 群作用、正规子群与商群
- 理想、商环、多项式与域扩张
- 模、表示和同态不变量
METHOD / 常用方法
- 先验证封闭性和公理
- 用同态核/像压缩问题
- 从小阶群和具体矩阵积累例子
PRACTICE / 练习
- 分类小阶循环群的子群
- 计算多项式商环元素
- 用轨道—稳定子定理计数
04空间
几何与拓扑
拓扑研究连续变形下的不变量，微分几何用微积分研究弯曲空间。
拓扑流形同伦曲率微分几何
CORE / 核心概念
- 开集、连续、紧致与连通
- 基本群、覆盖空间与同调入口
- 光滑流形、切空间、度量与曲率
METHOD / 常用方法
- 用基和邻域把直觉翻译成定义
- 寻找同胚/同伦不变量排除等价
- 在局部坐标计算后检查坐标无关性
PRACTICE / 练习
- 证明连续像保持紧致
- 计算圆周基本群的直觉模型
- 求球面曲线或曲面的第一基本形式
05离散
数论、组合与概率
离散结构把算术、计数和随机性连接到密码、算法及动力系统。
数论组合概率随机过程代数数论
CORE / 核心概念
- 同余、素数、二次剩余与算术函数
- 生成函数、容斥、图与极值组合
- 概率空间、条件期望、鞅与极限定理
METHOD / 常用方法
- 先在模小素数下实验
- 双计数与生成函数互证
- 用指示变量和条件化拆随机量
PRACTICE / 练习
- 证明欧拉定理并计算例子
- 用生成函数解递推
- 以两种方法求随机排列不动点期望
没有匹配的知识节点
换一个更短的关键词，或清空分类后再试。
OUTPUT LAB / 练习与项目
用可交付作品检验理解
项目不是装饰：交付物、检查点与复盘记录缺一不可。
100 个证明档案
按证明策略、关键定义和反例索引的精写证明集。
完成检查
- 每个量词范围清楚
- 引用定理注明假设
- 修订记录保留错误原因
方向桥梁图
选一个研究方向，画出 30 个核心定义与定理依赖。
完成检查
- 节点含一个例子和反例
- 至少跨两个主干学科
- 资料以教材和高校课程为主
小型专题报告
10–15 页 LaTeX 报告加 30 分钟讲解。
完成检查
- 先陈述动机和主定理
- 至少完整证明一个非平凡引理
- 列出尚不理解的问题
REFERENCE SOURCES / 可核验资料
先读官方、大学与专业组织资料，再用高质量参考补齐
外部页面可能更新；课程顺序以本页路线为导航，资料以来源明确、可核验为优先。